海文专业课08年北交管理运筹学强化班讲义(4)
§4.4 顾客源为有限的情况 (M/M/C/∞/M)设顾客源为有限m,且m>c，顾客到达率是按每个顾客考虑的。在机器维修模型中就是有m台机器，C个修理工，机器故障率就是每个机器单位运转时间出故障的期望次数，系统中顾客数n就是出故障的机器台数。当n≤C时，无排队，有c-n个修理工空闲;当c
§5 一般服务时间的(M/G/1)模型
任意分布服务时间：任何情形下面的关系都正确：
Ls=Lq+Lse (Lse--服务机构中的顾客数)
Ws=Wq+E[T] (E[T]--服务平均时间)
Ls=λWs ， Lq=λWq
当然，对于有容量限制和有限源情形λ要换成λe.
§5.1 Pollaczek-Khintchine(P-K)公式
对M/G/1模型,只要服务时间的E[T]和Var[T]存在，其他条件与 M/M/1相同，且ρ<1, ρ=λE[T],则有：
§5.2 定长服务时间 M/D/1模型
该情况是服务时间是确定的常数，如一条装配线上完成一件工作的时间是常数。则:T=1/μ Var[T]=0
Ls=ρ+ρ2/2(1-ρ)
例5 某售票口，顾客平均2.5分钟到达一个，服从负指数分布，顾客在售票口前至少要占用一分钟，且服务时间服从： f(y)=e-y+1 y≥1
0 y<1
求Ws, Wq
解：∵λ=1/2.5=0.4人/m
令y为服务时间及y=1+x
∴f(y)=e-x x>=0
即x是服从均值为1的负指数分布。
∴E[y]=E[1+x]=2,Var[y]=Var[1+x]=Var[x]=1
根据P-K公式：
§5.3 爱尔朗服务时间M/Ek/1模型
如图示，若顾客必须经过k个服务站，在每个服务站的服务时间Ti相互独立，并服从相同的负
指数分布(参数为kμ)，那么 服从k阶爱尔朗分布。
§6 经济分析—排队系统优化
排队系统优化问题分为两类：系统设计和系统控制优化。前者称为静态问题，研究如何使设备达到最大效益或机构最为经济。后者称为动态问题，研究如何运营可使某个目标达到最优，该问题是多年来的研究重点之一。因涉及更多的数学知识，本节我们只讨论静态问题。
从静态考虑，排队系统主要涉及两项费用：等待损失费用和服务费用。服务费容易确切计算，而等待费不易确定。它们之间的关系如下图示：
研究这类问题，对离散变量常用边际分析法，对连续变量常用经典的微分法。也可用NLP及DP.
§6.1 M/M/1 模型中的最优服务率μ
1、标准的M/M/1 Model
设：Cs为在μ=1时服务机构的单位时间费用，Cw为每个顾客在系统停留单位时间的费用。则总单位时间成本z为:
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