海文专业课08年北交管理运筹学强化班讲义(3)
第五章 排队论(Queuing Theory)排队论(queuing),也称随机服务系统理论，是运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论”标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领域中均得到应用。
§1 排队系统的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程;2.排队规则;3.服务机构。现分别说明：
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1)顾客源可能是有限的，也可能是无限的。
2)顾客是成批到达或是单个到达。
3)顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。
4)顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。
5)输入过程可以是平稳的(stationary)或说是对时间齐次的(Homogeneous in time)，也可以是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达的间隔时间分布和参数(均值、方差)与时间无关;非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。
2. 排队规则
3. 服务机构
1)服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不同形式的排队服务机构，如：
§1.2 排队系统的模型分类
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic， Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随机分布(General Independent)， G —一般随机分布。
Y——填写服务时间分布(与上同)
Z——填写并列的服务台数
A——排队系统的最大容量
B——顾客源数量
C——排队规则
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤：
1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布(可实测)。
2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的话)：
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长(Ls):系统中的顾客数。
平均队列长(Lq):系统中排队等待服务的顾客数。
系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被服务的顾客数c
(2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。
平均等待时间(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。
(3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度。(忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度)
4.排队系统指标优化
含优化设计与优化运营。
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